Die Motten auf dem Zahlenteppich

„Jugend forscht“-Landessieger aus Landau (2): Alexandra Julier und Christina Flörsch, MSG

16.04.2005 - Wer denkt, Mathematik ist langweilig, hat sich noch nie mit Zahlen nach Art der „Mathe-AG“ am Max-Slevogt. Gymnasium beschäftigt. Da geht es um Theorien, Zahlenspielereien und mehr. Für Alexandra Julier (17) und Christina Flörsch (16) entstand auf Grund dieser AG die Idee zu einem Projekt, das zum erstes Platz beim ,,Jugend forscht“-Landeswettbewerb führte. Ihr Thema „Delannoy-Zahlen und fraktale Strukturen – Motten auf dem Zahlenteppich“ klingt nicht nur kompliziert, für Mathe-Laien ist es das wohl auch.

Um das Projekt der beiden Mathebegeisterten zu verstehen, muss zuerst der „Zahlenteppich aus Delannoy-Zahlen“ erklärt werden. Dazu nimmt man ein theoretisch unendlich großes Blatt Papier mit Rechenkästchen und füllt die obere horizontale Reihe und die vertikale Reihe am linken Rand mit Einsen. Julier erklärt: „Jede weitere Zahl errechnete sich mit einer Formel, die jeweils vier Kästchen im Quadrat benötigt: Die drei Kästchen ‚links oben’ und ‚rechts oben’ und ‚links unten’ werden addiert und ergeben das vierte Kästchen.“ Mit dieser Formel immer weiter gerechnet, ergibt sich so ein unendlicher Zahlenteppich, wobei man die Rechnerei getrost Computerprogrammen überlassen kann.

Die Mädchen wiesen für den Teppich verschiedene Eigenschaften nach, unter anderem, dass alle Zahlen in dem Teppich ungerade sind und von links oben diagonal nach rechts unten eine Symmetrieachse gezogen werden kann. Julier und Flörsch haben eine zweite Möglichkeit gefunden, die Zahlen des Teppichs auszurechnen, außerdem gibt es pro Zeile eine Formel, mit der die komplette Zeile errechnet werden kann.

Nach den Eigenschaften des „Delannoy-Teppichs“ wandten sich die Zahlen-Jongleure den „Fraktalen Strukturen“ zu. Dazu ließen sie das Programm die Zahlen durch Primzahlen teilen. Anschließend wiesen sie den Computer an, alle Kästchen, deren Inhalt „gleich Null“ war, orange zu färben, alle anderen Kästchen wurden schwarz.

Der Beobachter sieht nun eine fraktale Struktur. Flörsch macht deutlich, was das ist: „In der Ecke links oben erkennt man ein symmetrisches Muster. Bewegt man sich weiter nach unten und rechts im Zahlenteppich, wiederholt sich das Muster. Gleichzeitig weist der Teppich das Muster aber auch vergrößert auf. Und diese Vergrößerung setzt sich genau wie der Zahlenteppich an sich ins Unendliche fort.“ Mathematiker nennen das, so Flörsch, „in sich selbst ähnlich“. Dieses Prinzip der Selbstähnlichkeit tritt nur bei der Division mit Primzahlen auf.

Wie die beiden auf die Idee mit den Mustern gekommen sind, erklärt Alexandra Julier: „Wir sind beide seit mehreren Jahren in der Mathe-AG bei Dr. Albrecht Schultz, der auch der betreuende Lehrer der Arbeit war. Das Projekt hat sich dann ergeben, als Dr. Schultz uns selbstähnliche Muster gezeigt hat.“ Als die beiden erkannten, dass die Eigenschaften der Delannoy-Zahlen in der Literatur zwar erwähnt, aber nicht erklärt werden, stand ihr Thema fest. Nun sind sie gespannt, was sie beim Bundeswettbewerb von 26. bis 29. Mai in Dortmund erwartet. Flörsch dazu: „Mir kamen schon sechs Konkurrenten beim Landeswettbewerb viel vor. Beim Bundeswettbewerb sind es 16.“

Was ihre Zukunft bringt, wissen die zwei noch nicht. Die Elftklässlerinnen haben beide Mathe als Leistungskurs, bei Alexandra Julier kommen noch Musik und Deutsch, bei Christina Flörsch Französisch und Physik hinzu. Vor allem bei der 17-jährigen Alexandra steht neben den Zahlen die Musik im Mittelpunkt: ‚Ich spiele Klarinette, Keyboard, Saxophon, Sopran- und Altflöte.“ Bewusst ist den beiden, dass es „für die Muster noch nichts Sinnvolles gibt, wofür man sie verwenden könnte“. Julier schlägt vor: „Vielleicht für Muster von Teppichfliesen oder so.“ Ein Jahr dauerte es, bis die Präsentation und die Abschlussarbeit fertig waren. Die Mädels geben zu: „Vor allem vor Abgabeterminen war es ziemlich stressig.“ Aber im Hinblick auf nächstes Jahr wollen sie doch wieder mitmachen, und die 16-jährige Christina begründet: „Da gilt das in der Schule auch noch als Facharbeit. Das lohnt sich dann wirklich.“

Laura Estelmann

© RHEINPFALZ 16.4.2005